关键词： 全国招教
1.某校开展运动会，有篮球、排球和跳高三种比赛可以选择。某班有25名学生报名参加运动会，其中，没有报名篮球比赛的学生中，报名排球比赛的人数是报名跳高比赛的人数的2倍，只报名篮球比赛的人数比其余学生中报名篮球比赛的人数多1人，仅报名一种比赛的学生中，有一半没有报名篮球比赛。求只报名排球比赛的学生人数。
1.【解析】设只报名排球比赛的学生有x人，只报名篮球比赛的学生有y人，只报名跳高比赛的学生有z人，只报篮球和排球两种比赛的学生有a人，报篮球和跳高两种比赛的学生有b人，报跳高和排球两种比赛的学生有c人，报三种比赛的学生有d人，则根据题意得，x y z a b c d=25①，x c=2（z c）②，由②得c=x-2z③，y=a b d 1④，x z=y⑤，将③④代入①得，x y z y-1 x-2z=25，所以有2x 2y-z=26⑥，将⑥代入⑤得，3x y=26⑦，由⑦知，26-y为3的整数倍，当26-y=24，21，18，15，12，9，6，3时，x=8，7，6，5，4，3，2，1，当x≥7时，y=26-3x≤5，由⑤知y>x≥0，不满足；当x≤5时，y≥11，由⑤知z≥6，由③知x>2z≥0，不满足，故x=6，即只报名排球比赛的学生有6名。
2.已知等腰三角形abc中，ab=ac，ad是bc边上的高，将三角形adc绕点a顺时针旋转至ac边与ab边重合，使点d落在点e处，延长eb和ad交于点f，延长cb和ae交于点g。
求证：当e为ag的中点时，bf平行且等于ac。
2.【解析】证明：∵ad⊥bc，三角形adc绕点a顺时针旋转至ac边与ab边重合，∴ae⊥be，由e为ag的中点，故有△abg是等腰三角形，且be垂直平分∠abg，又∵∠abe=∠abc=∠ebg，∠abe ∠abc ∠ebg=180°，∴∠abc=60°，△abc是等边三角形，故有∠acb=∠ebg，∴bf∥ac。∵ad⊥bc，bd=bc，∠c=∠fbd，所以△acd≌△fbd，所以bf=ac。综上得证。
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